De Geometría y sus derivados

En Matemáticas, el sufrimiento de las y los estudiantes, hay ramas que desde la escuela básica conocemos, aunque no siempre entendemos par qué nos pueden servir. Ejemplo de ello es la Geometría, y una figura geométrica interesante es el pentágono.

Desde las formas orgánicas que se ven en hojas y cristales hasta estructuras y objetos artificiales, las formas geométricas nos rodean. De ellas, el pentágono es una forma fascinante que ha cautivado desde hace mucho tiempo a matemáticos, pintores y constructores. Por eso hoy quiero traer a conversación qué es un pentágono, cómo describirlo y sus características clave.

Un Pentágono es un polígono de cinco lados por eso se llama pentágono. El término pentágono se deriva de las palabras griegas "pente" (que significa "cinco") y "gonia" (que significa "ángulo"). Por lo tanto, un pentágono tiene cinco vértices y cinco aristas. Dado que solo se necesitan cinco líneas rectas unidas por sus extremos para crear una figura cerrada, el pentágono es uno de los polígonos más básicos de la geometría.

Pero tiene sus distintas formas de dibujarse, por eso hay vario tipos de pentágonos:
~ Pentágono regular: Los 5 lados y todos los ángulos interiores tienen la misma longitud en un pentágono regular. Cada ángulo interior mide 108°. Los pentágonos regulares se utilizan frecuentemente en arquitectura, arte y diseño debido a su alto grado de simetría.
~ Pentágono irregular: Las longitudes de los lados y las medidas de los ángulos difieren en un pentágono irregular. Si bien los pentágonos irregulares carecen de la simetría de los regulares, comparten la característica fundamental de tener cinco lados. Todos los vértices de un pentágono convexo apuntan hacia afuera y ningún ángulo es mayor a 180 grados.
~ Pentágono cóncavo y convexo: Cuando al menos un vértice de un pentágono cóncavo apunta hacia adentro, indica que al menos un ángulo es mayor a 180°.

Pero todo en Geometría tiene sus propiedades y el pentágono no es excepción.
a) Hay exactamente cinco lados y cinco vértices en un pentágono. Los ángulos internos de cualquier pentágono, ya sea regular o irregular, suman 540°.
b) Si todos los lados son iguales y todos los ángulos tienen la misma medida, entonces es un pentágono regular. De lo contrario, es irregular.
c) En el pentágono regular, cada ángulo interior mide 108° y cada ángulo exterior mide 72° .
d) Un pentágono equilátero tiene 5 lados iguales.
e) La suma de los ángulos interiores de un pentágono rectángulo es 540°.

Para calcular un pentágono regular con longitud de lado y apotema, entonces la fórmula para encontrar el área de un pentágono se da como:
Área de un pentágono,
A = (5/2) × Longitud del lado × Unidades cuadradas de la apotema.
Si sólo se da la longitud del lado de un pentágono, entonces
Área = 5s² / (4 tan 36°)
Unidades cuadradas
Si sólo se da el radio de un pentágono, entonces
Área = (5/2)r² sen 72°
Unidades cuadradas
Pero si se desea conocer el perímetro del Pentágon y como todos los lados ’a’ de un pentágono regular son de igual medida, entonces el perímetro o circunferencia de un pentágono se escribe como,
El perímetro de un pentágono, P = 5a unidades

La simetría de un pentágono regular es muy grande. Puede doblarse o dividirse en mitades simétricas de 5 maneras diferentes, ya que tiene 5 ejes de simetría. También se puede girar 72°, 144°, 216°, 288° o 360° sin cambiar su apariencia porque demuestra simetría rotacional a intervalos de 72°.

5 diagonales, o segmentos de línea que unen vértices no adyacentes, forman un pentágono. Curiosamente, las diagonales de un pentágono regular se unen para producir pentágonos más pequeños, lo que resulta en un patrón encantador que se asocia frecuentemente con la "proporción áurea" en la naturaleza y el arte.

Los pentágonos se utilizan en muchos contextos del mundo real y no son solo un tema de Geometría, como por ejemplo:

Diseño y arte: Los pentágonos se utilizan con frecuencia en diseños de joyas, patrones de mosaicos y obras de arte debido a su simetría.

Naturaleza: Algunas frutas y flores presentan la simetría del pentágono, como la carambola, que al cortarla transversalmente adquiere la forma de un pentágono.

Pero quizá donde se usa más en la construcción: Uno de los edificios con forma de Pentágono más conocidos del mundo es el edificio del Pentágono en EEUU, que alberga la sede de su Departamento de Defensa. Y en las baldosas para acabados interiores y exteriores, así como en pisos y fachadas.

Dato curioso: La proporción áurea en los pentágonos

Las diagonales de un pentágono regular se cruzan de modo que se dividen entre sí según la "proporción áurea" (aproximadamente1,618). Debido a sus atractivas cualidades y a su frecuente aparición en la naturaleza, el arte y la arquitectura, ésta proporción ha cautivado a matemáticos y artistas por igual durante siglos.

Con sus 5 lados y ángulos únicos, el pentágono es más que una simple forma; es un componente esencial de la geometría, con características fascinantes y usos prácticos. Su simplicidad y simetría lo convierten en un diseño atemporal que nunca pasa de moda, ya sea en arquitectura, arte o naturaleza. Podemos apreciar la geometría con mayor plenitud si sabemos qué es, cómo funciona y lo hermosa que es.